Absolutely Summing Operators by Joe Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge

By Joe Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge

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Example text

Die uns interessierende Reihe ist also definitiv unendlich und wir wollen nun ihre Divergenz beweisen. Es konnte gar nicht ausbleiben, daß Euler das Problem in Angriff nahm. Dabei fand er ein unglaubliches Ergebnis, das zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie f¨ uhrte. Wir geben hier einen von Erd˝ os stammenden Beweis, der den Eulerschen Gedankengang verallgemeinert. Angenommen die Reihe konvergiert. Dann muß es einen Reihenrest geben, dessen Summe kleiner als 12 ist, das heißt es muß ein i geben, so daß 1 pi+1 2 + 1 pi+2 Auch M¨ obius-Funktion genannt.

Skalieren wir nun das Ganze um einen Faktor von 107 nach unten, dann haben wir NapLog (1/e) ≈ 1 und das wiederum legt den Gedanken nahe, daß es sich bei NapLog x sehr wohl um log1/e x handeln k¨onnte. Unter Verwendung der Infinitesimalrechnung k¨onnen wir den Sachverhalt nunmehr pr¨ azise formulieren. W¨ ahlen wir in Abb. 2 und in Abb. 3 die Werte PB = x, OQ = y und den Proportionalit¨ atsfaktor 1, dann haben wir dx/dt = −x und dy/dt = 107 . Die Anfangsbedingungen besagen, daß wir bei t = 0 die Werte x = 107 und y = 0 haben.

Deswegen wissen wir auch nicht, ob die betreffende Reihe u ¨berhaupt eine unendliche Reihe ist. Die Vermutung, daß es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist als Primzahlzwillingsvermutung bekannt. Interesssant ist die Feststellung, daß das Paar (1019,1021) zwei euklidische Primzahlen erzeugt. Verwenden wir lediglich Primzahlzwillinge, dann bleibt von H∞ nur noch folgendes u ¨brig: 1 1 + 3 5 + 1 1 + 5 7 + 1 1 + 11 13 + 1 1 + 17 19 + ··· . Ist diese Reihe konvergent? Endlich k¨ onnen wir mit ja“ antworten, aber nie” mand kennt die betreffende Zahl genau; sie liegt bei ungef¨ahr 1,902 160 582 4.

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